Standardowy kernel prob-16-kern.cpp, z operacjami t(), tx(), jest przeznaczony do programowania w hiperkostce. Wykład rozpoczęliśmy od razu o antionach poruszających się w przestrzeni (C2)n (rozdział „wejscie asmoka”). C2 oznacza najprostszą nietrywialną grupę {0,1}. Symbol (C2)n oznacza kartezjańską sumę n takich prostych cyklicznych grup C2 , czyli zbiór elementów 000..0, 00..1, .. itd. , w których kazdy ma n składników. W przykładach (C2)3 rysowalismy na kształt kostki. Diagram/ graf przestrzeni (C2)n dla n=5 można przedstawić jak w poprzednim rozdziale „więcej procesorów”. Wszystkie dotychczas rozważane przestrzenie są abelowskie (komutatywne) grupy rzędu 2n . Jeśli rząd przestrzeni (ilość elelementów) jest (2)n , to taką przestrzeń mozna bez reszty zanurzyc (włozyc) do (C2)n .
W tym rozdziale opowiemy trochę o ogólnych dyskretnych grupach (czyli niekomutatywnych grupach) i ich diagramach Cayleya. Temat antionowych programów (równoległych algorytmów) w takich przestrzeniach nie rozważamy.
O abstrakcyjnej definicji grupy juz była mowa. Jest kilka sposobów, jak tę abstrakcję wyrazić praktycznie, poprzez konkretną reprezentację. W pierwszej kolejności taką reprezentacją może być tabelka grupowego mnozenia. Specjalnie dla skończonych grup, ale raczej niskiego rzędu. Dobre tak dla wstępu do teorii grup. Bardziej praktyczne i pozyteczne są grupy permutacji, czyli transformacji dyskretnych (skończonych, lub przeliczalnych) zbiorów. Stąd juz krok do reprezentacji przy pomocy macierzy, gdzie mnozenie grupowe odwzorowujemy na mnozenie macierzowe w przetrzeni wektorów. Podkategoria są grupy Lie (macierze zalezne od prostych parametrów liczbowych). W teorii Lie okresla sie pojecie infinitezymalnego generatora grupy. Generatory tworzą samodzielną strukturę, tzw. algebrę Lie (algebrę komutatorów). Podobnie w naszym przypadku, czyli w antionowym modelu równoległych obliczeń, mamy grupę G i podzbiór R generatorów. Na zbiorze R okreslamy algebrę z operacjami „shift left” i „shift right”. O ścislejszej analogii mozna poczytać w ostatnim rozdziale ksiażki [3], gdzie elementami algebry generatorów R są komutatory „a.b.a-1.b-1”.
Diagramy Cayleya reprezentuja strukture dyskretnych grup graficznie. Zwiazek między grupą i jej grafem (diagramem) jest zawarty w kilku przyrównaniach [2], z których wybieramy następujace:
- grupowy element = wierzchołek grafu
- generator = krawędź
- rózne generatory = różne kolory
- …..